Questões de EFAF Matemática - Equações de 2º grau - Equações biquadradas

Toda equação que apresenta forma geral do tipo  é chamada de equação biquadrada, onde  podem assumir qualquer valor real, desde que  seja diferente de zero.

Se tomarmos  e se tivermos uma equação biquadrada com duas das raízes iguais a  e , o valor da soma  é igual a 

Os alunos do CMB candidatos a monitores do 9º ano são selecionados pelo Prof. A. Tentho, que procura saber se seus conhecimentos matemáticos estão em dia.

Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo se candidataram e então o professor fez as seguintes afirmações:

1) A solução real da equação irracional  é um número ímpar não primo.

II) Uma equação biquadrada da qual  e  são duas de suas raízes possui coeficiente do termo de segundo grau igual a 11.

III) O sistema  no conjunto solução tem o maior valor de  igual a .

Com base na ordem em que foram apresentadas, julgue as afirmações como V (verdadeira) ou F (falsa) e assinale a alternativa correta:

Considere a expressão E = x + 2/x, x > 0.

Se o menor valor que a expressão E pode assumir é uma raiz da equação biquadrada ax⁴ + bx² + c = 0, então outra raiz dessa equação é:

O Desafio Global do Conhecimento (DGC) é uma competição em que todos os Colégios Militares se enfrentam em diversas modalidades. Para selecionar os alunos participantes da equipe de Matemática do CMB, o Professor Pinheiro colocou-os num labirinto com três salas, cada uma delas com um desafio matemático diferente. A senha para sair do labirinto era formada por três algarismos, sendo que cada algarismo era a resposta de um dos desafios.

Os desafios propostos no labirinto, seguindo a ordem abaixo, foram os seguintes:

Desafio 1 - Qual é o número de raízes reais da equação biquadrada  ?

Desafio 2 -  Qual é o número de soluções da equação irracional  ?

Desafio 3 - Qual é o número de soluções distintas  inteiras e positivas da equação  ?

Sabendo que os alunos saíram do labirinto, a senha que eles usaram foi

TEXTO PARA A QUESTÃO.

Há situações em que equações de grau superior a 2 podem ser resolvidas com o auxílio de uma técnica denominada “mudança de variável”, que nos permite diminuir o grau da equação, transformando-a em uma equação de 2° grau.

Um exemplo desse uso pode ser visto aqui:

Seja a equação x⁴ - 7x² - 18 = 0 (I)

Admita que y = x² (II)

Substituindo (II) em (I), obtemos y² - 7y - 18 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, temos y₁ = 9 e y₂ = -2

Atribua x² = 9 → x₁ = 3 e x₂ = -3 e, ainda,

x² = -2 → neste caso, não há raízes reais.

A soma dos cubos das raízes reais da equação (x² - 2x + 1)² = 5x² - 10x + 1 é igual a