Questões de EFAF Matemática - Geometria

    Sobre uma circunferência de raio 1 são inseridos 8 pontos igualmente espaçados, que constituem os vértices de uma estrela de 8 pontas, como mostrado na figura. A estrela possui 16 lados de mesmo comprimento e os ângulos internos em cada ponta da estrela medem 15°.

    Qual é a medida da área ocupada pela estrela?

    Considere dois pontos  e  distantes cm um do outro. Com centro em , é construída a circunferência de raio cm e, com centro em , a circunferência de raio de cm.

    Sejam  e  os pontos de intersecção entre as circunferências e  um ponto sobre a circunferência . O ponto é tal que a região delimitada pelo ângulo de medida a contém o centro . Por fim, o ponto  é a intersecção entre a circunferência  e a reta . A construção está ilustrada na figura abaixo, fora de escala.

    Qual é o valor da soma das medidas dos ângulos ,  e ?

A figura abaixo representa um triângulo equilátero de lado 2. Sobre o lado do triângulo está indicado o ponto , cuja distância até o vértice  é igual a , com . Os pontos  e  são marcados sobre os lados  e , respectivamente, de modo que  seja sempre perpendicular a  e  seja sempre perpendicular a .

Para qual valor de as áreas dos polígonos  e  são iguais?

    Na imagem abaixo, está representada uma parede revestida com azulejos, todos quadrados e de mesmo modelo, pintados nas cores branco e cinza.

    A fim de controlar o gasto com pigmento na produção desses azulejos, o ceramista deseja testar diferentes modelos de pintura. Para isso, um desses azulejos foi representado no plano cartesiano ao lado, de modo a ser uma figura completamente simétrica em relação aos eixos e . Nessa figura, o ponto pode se mover ao longo do eixo , com , de maneira que:

• seja sempre um quadrado com vértices sobre os eixos;

• os pontos  e sejam sempre pontos médios de  e  respectivamente;

• os demais pontos destacados e permaneçam fixos, preservando a simetria da figura.

Qual é a abscissa do ponto para o qual a área pintada de cinza no azulejo é a maior possível?

    Na figura abaixo, há dois quadrados inscritos em uma circunferência de raio 1. Cada quadrado pode ser obtido a partir da rotação do outro em um ângulo de 45°. A região interna à circunferência e externa aos dois quadrados foi pintada de cinza.

    Qual é a área da região cinza da figura?

    O volume do planeta Terra é de aproximadamente 1,125 ⋅ 10¹² km³, o que corresponde a 3 bilhões de vezes o volume de grãos de areia presente nos litorais.

    Suponha que cada grão de areia tenha formato cúbico de aresta medindo 0,5 mm. Considere também que, quando aglomerados, os grãos de areia se encaixam perfeitamente, face a face, sem deixar espaços vazios.

De acordo com esses dados, qual é a quantidade aproximada de grãos de areia presentes nos litorais do planeta Terra?