Questões de EFAF Matemática - Trigonometria

A segunda fase da OBMEP em 2019 será realizada na Universidade Federal de Santa Maria no dia 28 de setembro do corrente ano. Um problema instigante e desafiador de geometria foi apresentado aos alunos do CMSM durante a preparação, segundo a figura 1 a seguir.

Figura 1: Desafio de Geometria

Fonte: CMSM

Sabe-se que:

a. Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais, ou seja, se r// s então α=β 

Figura 2: Paralelismo de retas

Fonte: CMSM

b. Na figura 11:

1) a distância AC = 1 cm;

2) o ângulo FCB = γ;

3) o ângulo ACB =  θ;

4) o triângulo ABC é retângulo em B;

5) o quadrilátero FCED é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a 90° e os lados opostos são paralelos e iguais.

Considerando o triângulo AFC e os ângulos γ e  θ dados na figura 1 acima, determine o comprimento do segmento AF.

A figura abaixo contém diversos triângulos retângulos, e as respectivas medidas de alguns lados, com o ângulo x em comum.

Calculando sen(x) + cos(x), o resultado é:

Um jovem parado num ponto A de um plano horizontal observa, com um teodolito (instrumento de medida de ângulos), o topo de um edifício sob um ângulo de Depois, ele caminha metros em direção ao edifício, para num ponto B, faz uma nova observação, e dessa vez, obtém um ângulo de Então, ele continua a caminhada até chegar na entrada do edifício.

Desprezando-se a altura do jovem, a distância por ele percorrida do ponto A até a entrada do edifício, é um valor, em metros (considere 

Os zeros da função f:ℝ → ℝ, f(x) = 2x² - 4px + 32p - 148, com p ∈ ℝ, também representam as medidas dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa possui comprimento igual a 10.

O produto dos possíveis valores de p é igual a

Seja um triângulo cujos vértices têm coordenadas cartesianas e onde e

Então, o valor da expressão   cos(β) - sen(α) é

Um triângulo retângulo está circunscrito a uma circunferência de raio R.

Considerando que sua hipotenusa mede a e que seus catetos medem b e c, podemos afirmar que