Questões de EFAF Matemática - Trigonometria

As dimensões oficiais de uma goleira de futebol são 7,32 metros de comprimento por 2,44 metros de altura. Durante uma partida, um jogador recebeu a bola dentro da pequena área e chutou-a do chão, formando um ângulo de 30º com a horizontal. A bola acertou o travessão. Essa situação está ilustrada na figura a seguir.

Qual é, aproximadamente, a distância, em metros, entre os pontos A e B da figura?

Em uma aula realizada no laboratório de Matemática de um escola, o professor Lucas, de posse do cubo de Rubik, também conhecido como cubo mágico, determinou que seus alunos encontrassem o valor da distância D entre os pontos A e B, indicados nas figuras e a seguir. Os alunos perceberam que não haveria como traçar, com uma régua, uma reta entre os dois pontos, por isso tiveram que utilizar algumas propriedades geométricas e adotaram  como para fins de cálculo.

A distância D, encontrada pelos alunos, está na alternativa.

Um mastro vertical de base O e topo P encontra-se fixo sobre solo horizontal. Uma das extremidades de um cabo inextensível, com de comprimento, está preso em P. Esse cabo é esticado de modo que a outra extremidade toque o solo em A. A extremidade inferior do cabo é deslocada sobre a circunferência de raio AO até chegar ao ponto B.

Se o ângulo AOB vale 90° e o segmento AB mede  então a altura do mastro é

A figura ilustra um conjunto formado por duas barras rígidas unidas por uma articulação. A maior delas mede metros, e a menor, metros. As barras formam e com a horizontal.

Seja H a altura da parte mais alta do conjunto com relação à horizontal que passa pela parte mais baixa do conjunto.

Desprezando-se a espessura das barras, pode-se dizer que H vale

O principal elemento estrutural de um telhado de madeira denomina-se “tesoura”. Sua função é dar apoio às ripas de madeira que sustentam as telhas. Para cada tipo de telha, existe uma inclinação específica que pode ser medida em porcentagem ou em graus.

Na imagem a seguir, apresentamos um exemplo de uma tesoura utilizada no telhado de uma casa.

Tesoura e alguns de seus elementos

Fonte: adaptado de https://pedreirao.com.br/. Acesso em: 28 jul. 2019.

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

Considere que um pedreiro construirá uma tesoura como no esquema acima. A inclinação (0) do telhado deve ser de  e o vão livre deve utilizar uma linha (representada por AB ) de   metros (aproximadamente 7 m) de comprimento. O pendural (representado por CD) deve formar um ângulo de  com a linha e ficar posicionado em um ponto que esteja à mesma distância de A e de B.

Considerando que as diagonais (representadas por CE e CF ) têm a mesma medida do pendural, qual a menor quantidade aproximada de madeira, em metros, necessária para fazer essa tesoura?

Ao ministrar revisão de Geometria para 2ª fase da OBMEP em 2018, o professor de Matemática, explorando a figura 1 abaixo, apresentou os dados a seguir:

Figura 1: Trigonometria

Fonte: CMSM

a) o triângulo ABC é retângulo em B:

b) o ângulo :

c) o ângulo ;

d) CE é perpendicular a DE:

e) AD é perpendicular a BD;

f) o comprimento .

Da análise dos dados acima, determine a distancia AE: